86學測數學單選第5題詳解

設正十二邊形的邊長為 $x$，剪掉的等腰三角形腰長為 $y$。因為正六邊形的每個內角為 $120^\circ$，剪掉的三角形頂角為 $120^\circ$，底邊長為 $x$。根據餘弦定理： $$x^2 = y^2 + y^2 - 2 y^2 \cos 120^\circ = 3y^2 \implies y = \dfrac{x}{\sqrt{3}}$$ 由於剪角後，原六邊形的邊長（為 $3$）由兩個等腰三角形的腰與正十二邊形的一邊組成，故： $$2y + x = 3 \implies \dfrac{2}{\sqrt{3}}x + x = 3 \implies x\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 3$$ 化簡求得： $$x = \dfrac{3\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}(2-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}-9$$ 故選 $(5)$。