86學測數學單選第4題詳解

設此無窮等比級數的首項為 $a$，公比為 $r$。根據級數和公式，我們有： $$S = \dfrac{a}{1-r} = \dfrac{8}{9}$$ 又第四項為： $$a_4 = a r^3 = \dfrac{3}{32} \implies a = \dfrac{3}{32 r^3}$$ 將 $a$ 代入和公式可得： $$\dfrac{3}{32 r^3 (1-r)} = \dfrac{8}{9} \implies 256 r^3 (1-r) = 27 \implies 256 r^4 - 256 r^3 + 27 = 0$$ 已知 $r$ 為有理數，觀察 $256 = 4^4$，可嘗試 $r = \dfrac{3}{4}$： $$256 \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) = 256 \times \dfrac{27}{64} \times \dfrac{1}{4} = 27$$ 方程式成立。因此公比 $r = \dfrac{3}{4}$，最簡分數分母為 $4$。故選 $(3)$。