84大學聯考數學（社會組）單選第3題詳解

解法一：設有一 $A$ 使得 $x+y+z+u+A = 9$，且 $A \ge 0$。因為 $x, y, z, u$ 為正整數，令 $x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1, u'=u-1$，則 $x', y', z', u' \ge 0$，原式可化為 $x'+y'+z'+u'+A = 5$ 的非負整數解個數，因此所求為 $$H^{5}_{5} = C^{9}_{5} = 126$$ 解法二：分別考慮 $x+y+z+u=k$ 的正整數解個數（其中 $4 \le k \le 9$）：當和為 $k$ 時，正整數解個數為 $C^{k-1}_{3}$。故所求為 $$C^{8}_{3} + C^{7}_{3} + C^{6}_{3} + C^{5}_{3} + C^{4}_{3} + C^{3}_{3} = 126$$