85學測數學多選第14題詳解

設等差數列的首項為 $a_1$，公差為 $d$。 由 $101$ 項等差級數和為 $0$，我們有： $$S_{101} = \dfrac{101}{2}(a_1 + a_{101}) = 101 a_{51} = 0 \implies a_{51} = 0$$ 又已知 $a_{71} = 71$，利用通項關係： $$a_{71} = a_{51} + (71-51)d = 20d = 71 \implies d = \dfrac{71}{20} = 3.55 > 0$$ 公差 $d$ 為正數。 評估選項： - $(1)$ $a_1 + a_{101} = 2 a_{51} = 0$，此選項錯誤。 - $(2)$ $a_2 + a_{100} = 2 a_{51} = 0$，此選項錯誤。 - $(3)$ $a_3 + a_{99} = 2 a_{51} = 0$，此選項正確。 - $(4)$ $a_{51} = 0$，此選項錯誤。 - $(5)$ $a_1 = a_{51} - 50d = -50 \times 3.55 < 0$，此選項正確。 故正確答案為 $(3)(5)$。