88大學聯考數學（社會組）選填第9題詳解

1. 由截距式可設平面 $E$ 的方程式為： $$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{a} = 1, \ a>0$$ 該平面的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{a}\right) // (4a, 3a, 12)$， 我們取 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E = (4a, 3a, 12)$。 而 $xy$ 平面的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_{xy} = (0,0,1)$。 2. 因為平面 $E$ 與 $xy$ 平面的夾角為 $45^\circ$，所以由法向量的內積夾角公式可得： $$\left|\cos 45^\circ\right| = \frac{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{n}_{xy}\right|}{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_E\right| \left|\overset{\large\rightharpoonup}{n}_{xy}\right|}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|(4a, 3a, 12) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{(4a)^2+(3a)^2+12^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{12}{\sqrt{25a^2+144}}$$ 3. 兩邊平方後整理： $$\frac{1}{2} = \frac{144}{25a^2+144} \implies 25a^2+144 = 288 \implies 25a^2 = 144$$ 解得 $a = \frac{12}{5}$ 或 $a = -\frac{12}{5}$（不合，因為 $a>0$）。 故 $a = \frac{12}{5}$。