91學測數學選填第20題詳解

建立空間直角坐標系，設正立方體的一個頂點在原點，且邊長為 $6$。 設各頂點坐標如下： - $F$ 點在 $z$ 軸上的投影為原點，設 $A$ 在稜 $EF$ 上。 根據 $\overline{AE}:\overline{AF} = 1:2$ 且稜長為 $6$，可得 $\overline{AE} = 2$，$\overline{AF} = 4$。因此 $A$ 點的坐標為 $(6,0,4)$。 - $B$ 與 $D$ 分別為相應稜的中點，其坐標可設為 $B(6,6,3)$ 與 $D(0,0,3)$。 我們可以求出兩個向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = D - A = (0,0,3) - (6,0,4) = (-6,0,-1)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = B - A = (6,6,3) - (6,0,4) = (0,6,-1)$$ 計算這兩個向量的長度與內積： $$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{AD}\right| = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{37}$$ $$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-1)^2} = \sqrt{37}$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-6)(0) + (0)(6) + (-1)(-1) = 1$$ 由向量夾角公式可得： $$\cos\angle DAB = \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AB}}{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{AD}\right| \left|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\right|} = \dfrac{1}{\sqrt{37} \times \sqrt{37}} = \dfrac{1}{37}$$ 故答案為 $\dfrac{1}{37}$。