88大學聯考數學（社會組）選填第10題詳解

由測量數據可求出各測量值發生的機率： $$P(68) = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}, \ P(69) = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}, \ P(70) = \dfrac{10}{50} = \dfrac{2}{10},$$ $$P(71) = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}, \ P(72) = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}$$ 測量三次所得平均值為 $71$，等價於三次測量值之總和為 $71 \times 3 = 213$。 符合此總和的組合有以下三種情況： 1. 三次測量值皆為 $71$，即 $(71, 71, 71)$，其機率為： $$\left(\dfrac{3}{10}\right)^3 = \dfrac{27}{1000}$$ 2. 三次測量值為 $70, 71, 72$ 各一次，其排列數為 $3! = 6$，其機率為： $$3! \times \left(\dfrac{2}{10}\right) \times \left(\dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{36}{1000}$$ 3. 三次測量值為 $69$ 一次，$72$ 兩次，其排列數為 $\dfrac{3!}{2!} = 3$，其機率為： $$\dfrac{3!}{2!} \times \left(\dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{10}\right)^2 = \dfrac{9}{1000}$$ 將以上三種互斥情況的機率相加，即為所求機率： $$\text{所求機率} = \dfrac{27}{1000} + \dfrac{36}{1000} + \dfrac{9}{1000} = \dfrac{72}{1000} = \dfrac{9}{125}$$