89學測數學多選第10題詳解

將行列式按第一列展開： $$f(x) = \det \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 1 & x & 2 \\ 1 & 2 & x \end{pmatrix}$$ $$f(x) = x(x^2-4) - 1(x-2) + 2(2-x) = x^3 - 4x - x + 2 + 4 - 2x = x^3 - 7x + 6$$ 逐一檢測選項： - $(1)$ 正確：$f(x) = x^3 - 7x + 6$ 為一個三次多項式。 - $(2)$ 正確：$f(1) = 1^3 - 7(1) + 6 = 0$。 - $(3)$ 正確：$f(2) = 2^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$。 - $(4)$ 正確：$f(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0$。 - $(5)$ 錯誤：$f(5) = 5^3 - 7(5) + 6 = 125 - 35 + 6 = 96 \neq 0$。 故選 $(1)(2)(3)(4)$。