89學測數學選填第19題詳解

1. 設事件 $A$ 為小華答對該題，事件 $B$ 為小華會做該題。 2. 因為依題意，所以已知： - 會做的機率為 $P(B) = 0.8$。不會做的機率為 $P(B') = 0.2$。 - 會做且答對的機率為 $P(A\mid B) = 1$。 - 不會做且猜對的機率為 $P(A\mid B') = \frac{1}{5} = 0.2$（因為是 $5$ 選 $1$ 的單選題）。 3. 首先計算小華答對該題的總機率 $P(A)$： $$P(A) = P(B) \times P(A\mid B) + P(B') \times P(A\mid B') = 0.8 \times 1 + 0.2 \times 0.2 = 0.8 + 0.04 = 0.84$$ 4. 欲求在答對的條件下，是因為會做而答對的條件機率 $P(B\mid A)$。由貝氏定理： $$P(B\mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B) \times P(A\mid B)}{P(A)} = \frac{0.8}{0.84} = \frac{80}{84} = \frac{20}{21}$$ 答：$\frac{20}{21}$。