89學測數學選填第20題詳解

1. 以甲港口為原點 $O(0,0)$ 建立平面直角坐標系。 2. 船的初始位置為 $A(27, 8)$，航標位置為 $B(2, 3)$，港口位置為 $O(0,0)$。 3. 船原本的行進方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = B - A = (-25, -5)$。可取方向向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} = (-5, -1)$。 4. 到達 $B$ 點後，船需轉向駛入港口 $O(0,0)$，此時的行進向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{BO} = O - B = (-2, -3)$。 5. 設航向修正的左轉夾角為 $\theta$。計算向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{BO}$ 的夾角： $$\cos \theta = \frac{\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{BO}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| |\overset{\large\rightharpoonup}{BO}|} = \frac{(-5)(-2) + (-1)(-3)}{\sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{10 + 3}{\sqrt{26} \sqrt{13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 因為 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 且為銳角，故 $\theta = 45^\circ$。 所以船在航標處的航向修正應向左轉 $45^\circ$。