詳解
1. 拋物線方程式為 $y = -4x^2 + 9$，可化為標準式 $x^2 = -\frac{1}{4}(y - 9)$。頂點為 $(0,9)$，開口向下。焦距 $4c = \frac{1}{4} \implies c = \frac{1}{16}$，故焦點 $F$ 的坐標為 $\left(0, 9 - \frac{1}{16}\right) = \left(0, \frac{143}{16}\right)$。
2. 令 $f(x, y) = 4x^2 + y - 9$。將焦點 $F\left(0, \frac{143}{16}\right)$ 代入得 $f\left(0, \frac{143}{16}\right) = \frac{143}{16} - 9 = -\frac{1}{16} < 0$。這代表與焦點在同一個區域的點 $(x,y)$ 需滿足 $f(x, y) < 0$。
3. 檢驗各選項之值：
$(1)$ $f\left(\frac{3}{2}, 2\right) = 4\left(\frac{9}{4}\right) + 2 - 9 = 2 > 0$（不同區域）。
$(2)$ $f(1, 4) = 4(1) + 4 - 9 = -1 < 0$（同區域）。
$(3)$ $f\left(-\frac{1}{2}, 7\right) = 4\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 9 = -1 < 0$（同區域）。
$(4)$ $f\left(\frac{1}{2}, 7\right) = 4\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 9 = -1 < 0$（同區域）。
$(5)$ $f(0, 9) = 0 + 9 - 9 = 0$（在拋物線上）。
故選 $(2)(3)(4)$。
解答附圖