90學測數學選填第13題詳解

從 $1$ 到 $9$ 中任取兩相異數的樣本空間總數為 $C^9_2 = 36$。 兩相異數之積的範圍在 $1 \times 2 = 2$ 至 $8 \times 9 = 72$ 之間，此範圍內的完全立方數有 $8, 27, 64$： 1. 積為 $8$：兩數可為 $\{1, 8\}$， $\{2, 4\}$（共 2 種） 2. 積為 $27$：兩數可為 $\{3, 9\}$（共 1 種） 3. 積為 $64$：只有 $\{8, 8\}$，但要求兩數相異，故此情況不成立。 因此滿足條件的相異數對共 $3$ 組，其機率為： $$\text{機率} = \dfrac{3}{C^9_2} = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$$