90大學聯考數學（社會組）選填第9題詳解

因為本週共有 $5$ 個上課日，每天需要 $2$ 名值日生，總共需安排 $10$ 人次。 已知學生共有 $6$ 男 $4$ 女，規定「每天至少需有 $1$ 名男生」。 由於每天值日生恰為 $2$ 人，若每天至少 $1$ 男，則這 $5$ 天男生的分佈人次只可能為 $(2, 1, 1, 1, 1)$。 也就是說，必定有 $1$ 天是由 $2$ 名男生值日，另外的 $4$ 天皆為 $1$ 男 $1$ 女值日。 方法一：分堆與排列 1. 將男生進行分堆： 將 $6$ 名男生分成一組 $2$ 人，其餘 $4$ 人各單獨一組（每組 $1$ 人）。 分堆方法數為： $$C^{6}_{2} = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15\text{ (種)}$$ 2. 將男生分堆排入 5 天中： 將這 $5$ 組男生排入週一至週五的 $5$ 個上課日中，方法數為： $$5! = 120\text{ (種)}$$ 3. 將女生排入 1 男 1 女的天數中： 將 $4$ 名女生安排在只有 $1$ 名男生的那 $4$ 天中，方法數為： $$4! = 24\text{ (種)}$$ 總安排方法數為： $$C^{6}_{2} \times 5! \times 4! = 15 \times 120 \times 24 = 43200\text{ (種)}$$ 方法二：按天數抉擇 1. 選出安排 2 男值日的那一天：有 $C^{5}_{1} = 5$ 種選法。 2. 選出該天值日的 2 男：有 $C^{6}_{2} = 15$ 種選法。 3. 將剩餘 4 男排入其餘 4 天：有 $4! = 24$ 種排法。 4. 將 4 女排入其餘 4 天：有 $4! = 24$ 種排法。 總安排方法數為： $$C^{5}_{1} \times C^{6}_{2} \times 4! \times 4! = 5 \times 15 \times 24 \times 24 = 43200\text{ (種)}$$ 所以故安排方式共有 $43200$ 種。