92 學測數學第 5 題

Question

根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，$t$ 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 $100(1-2^{-kt})\%$，其中 $k$ 是某個大於 $0$ 的常數。今有某訊息，假設在發布後 $3$ 小時之內已經有 $70\%$ 的人口聽到該訊息。又設最快要 $T$ 小時後，有 $99\%$ 的人口已聽到該訊息，則 $T$ 最接近下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：$(4)$
由題意 $1-2^{-3k}=0.7$，得 $2^{-3k}=0.3$。若 $T$ 小時後有 $99\%$，則 $1-2^{-kT}=0.99$，所以 $2^{-kT}=0.01$。兩式取對數相除，$\dfrac{T}{3}=\dfrac{\log 0.01}{\log 0.3}$，故 $T=3\dfrac{\log 0.01}{\log 0.3}\approx 11.48$。最接近 $11\dfrac{1}{2}$ 小時，故選 $(4)$。