92 指考數學乙第 10 題

Question

若數列 $a_n$ 滿足 $a_1=\dfrac{3}{7}$ 及 $a_{n+1}=\dfrac{7}{2}a_n(1-a_n)$（$n\ge 1$），則 $a_{101}-a_{100}=$____。

Accepted Answer

答案：$\dfrac{3}{7}$
$$a_1 = \frac{3}{7}$$
$$a_2 = \frac{7}{2}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{7} = \frac{6}{7}$$
$$a_3 = \frac{7}{2}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{7} = \frac{3}{7}$$

數列以 $2$ 為週期：奇數項 $=\frac{3}{7}$，偶數項 $=\frac{6}{7}$。

$a_{100}$（偶數）$=\frac{6}{7}$，$a_{101}$（奇數）$=\frac{3}{7}$

$$a_{101}-a_{100} = \frac{3}{7}-…