92指考數學乙選填第12題詳解

1. 設三角形 $ABD$ 中的角 $\angle ADB=\theta$。由餘弦定理： $$25=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cos\theta\implies \cos\theta=-\frac{5}{16}.$$ 2. 因為 $B,D,C$ 共線，$\angle ADC=180^\circ-\theta$，所以 $\cos\angle ADC=\frac{5}{16}$。在三角形 $ACD$ 再用一次餘弦定理： $$25=4^2+a^2-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{5}{16}\implies 2a^2-5a-18=0.$$ $$(2a-9)(a+2)=0.$$ 因為 $a>0$，所以 $a=\frac{9}{2}$。 另解 由 Stewart 定理： $$\overline{AB}^2\cdot\overline{DC}+\overline{AC}^2\cdot\overline{BD}=\overline{AD}^2\cdot\overline{BC}+\overline{BD}\cdot\overline{DC}\cdot\overline{BC}$$ 代入：$25a+25\times 2=16(2+a)+2a(2+a)$ $$25a+50=32+16a+4a+2a^2$$ $$2a^2-5a-18=0$$ $$(2a-9)(a+2)=0$$ $a>0$，故 $a=\frac{9}{2}$。