92學測數學補考選填第18題詳解

1. 橢圓 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的焦點為 $F_1(-4,0)$、$F_2(4,0)$，因為 $c^2=25-9=16$，所以 $c=4$。 2. 設 $P(x,y)$，$y>0$。因為 $\angle F_1PF_2=90^\circ$，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{PF_1}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{PF_2}\implies (x+4)(x-4)+y^2=0,$$ 即 $x^2+y^2=16$。與橢圓方程式聯立： $$9x^2+25y^2=225,$$ 代入 $x^2=16-y^2$ 得 $$9(16-y^2)+25y^2=225\implies 16y^2=81\implies y=\dfrac{9}{4}.$$ 因此 $P$ 點的 $y$ 坐標為 $\dfrac{9}{4}$。