92學測數學補考選填第19題詳解

1. 曲線配方： $$x^2+y^2-6x-2y+9=0$$ $$(x-3)^2+(y-1)^2=1$$ 此為圓心 $C(3,1)$、半徑 $r=1$ 的圓。 2. 目標函數可寫成 $$a^2+b^2-2b=a^2+(b-1)^2-1$$ 因為 $a^2+(b-1)^2$ 為點 $(a,b)$ 到定點 $(0,1)$ 的距離平方，而圓上點到 $(0,1)$ 的最遠距離為 $$d_{\max}=|C-(0,1)|+r=3+1=4$$ 所以最大值為 $$d_{\max}^2-1=4^2-1=15$$。