92學測數學補考選填第20題詳解

1. 光線沿 $y$ 軸（$x=0$）從原點向上，與直線 $L:y=\dfrac{1}{2}x+1$ 交於 $H(0,1)$。 2. 入射方向向量為 $\mathbf{v}=(0,1)$。直線 $L$ 可寫為 $x-2y+2=0$，法向量為 $\mathbf{n}=(1,-2)$，單位法向量為 $\hat n=\left(\dfrac{1}{\sqrt5},-\dfrac{2}{\sqrt5}\right)$。 反射公式給出 $$\mathbf{v}'=\mathbf{v}-2(\mathbf{v}\cdot\hat n)\hat n=\left(\dfrac45,-\dfrac35\right)$$ 因此反射線可參數化為 $$(x,y)=(0,1)+t(4,-3)=(4t,1-3t),\;t\ge0$$ 令 $y=0$，得 $t=\dfrac13$，所以 $$x=4\cdot\dfrac13=\dfrac43$$ 故 $R$ 點的 $x$ 坐標為 $\dfrac43$。