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093_02M_q04
93 學測數學 第 4 題
📅 93 年
📝 學測數學
第 4 題
題型：單選
課綱：99課綱
在坐標空間中給定兩點 $A(1, 2, 3)$ 與 $B(7, 6, 5)$。令 $S$ 為 $xy$-平面上所有使得 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA}$ 垂直於 $\overset{\large\rightharpoonup}{PB}$ 的 $P$ 點所成的集合，則
$S$ 為空集合
$S$ 恰含一點
$S$ 恰含兩點
$S$ 為一線段
$S$ 為一圓
空間中向量垂直
球面與平面的交集
空間向量
空間向量與空間中的直線與平面
解題手法
配方法
〔AI 推測〕
答案
$(1)$
詳解
設 $P = (x, y, 0)$ 在 $xy$-平面上。 $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA} = (1-x, 2-y, 3),\ \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = (7-x, 6-y, 5)$$ 由 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PB} = 0$ 得： $$(1-x)(7-x) + (2-y)(6-y) + 3 \times 5 = 0$$ 展開整理： $$x^2 - 8x + 7 + y^2 - 8y + 12 + 15 = 0$$ $$x^2 - 8x + y^2 - 8y + 34 = 0$$ 配方： $$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 16 + 16 - 34 = -2$$ 因為 $(x-4)^2 + (y-4)^2 \ge 0$，而右邊為負數，故無實數解，$S$ 為空集合。 故選 $(1)$。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。