93學測數學選填第14題詳解

由對數性質： $$a \cdot \log_{520} 2 + b \cdot \log_{520} 5 + c \cdot \log_{520} 13 = \log_{520}(2^a \cdot 5^b \cdot 13^c) = 3 = \log_{520}(520^3)$$ 因此 $2^a \cdot 5^b \cdot 13^c = 520^3$。 而 $520 = 2^3 \times 5 \times 13$，故： $$520^3 = (2^3 \times 5 \times 13)^3 = 2^9 \times 5^3 \times 13^3$$ 比較指數得 $a = 9$，$b = 3$，$c = 3$。 故 $a + b + c = 9 + 3 + 3 = 15$。