93指考數學甲多選第7題詳解

逐一計算各狀態經一次操作後的轉移機率，可得 $$P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}&0\\[2pt]\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[2pt]0&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$ $(1)$ 錯誤：$p_{12}=\frac{1}{4}$ 而 $p_{21}=\frac{1}{2}$，兩者不等。 $(2)$ 正確：因為由狀態 $j$ 出發必定落到三種狀態之一，所以每一行的三個機率和為 $1$，$P$ 是轉移矩陣。 $(3)$ 錯誤： $$\det P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times 0\right)=0$$ 行列式值為 $0$，不是正數。 $(4)$ 正確：$p_{11}=p_{33}=\frac{1}{2}$。 故選 $(2)(4)$。