93指考數學甲多選第8題詳解

因為狀態 $1$ 與狀態 $3$ 在操作規則下對稱（白黑對調即互換），所以 $P^k$ 具有下列形式 $$P^k=\begin{pmatrix}a_k&\dfrac{1}{4}&b_k\\[2pt]\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[2pt]b_k&\dfrac{1}{4}&a_k\end{pmatrix}$$ 其中 $$a_k=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2^{k+1}},\;b_k=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2^{k+1}}$$ $(1)$ 正確：從狀態 $2$ 出發，經 $k$ 次操作後到狀態 $1$ 與到狀態 $3$ 的機率同為 $\frac{1}{4}$。 $(2)$ 正確：從狀態 $1$ 出發，回到狀態 $1$ 的機率為 $a_k$、變成狀態 $3$ 的機率為 $b_k$，而 $a_k-b_k=\frac{1}{2^k}>0$，故前者較大。 $(3)$ 正確：$a_k=\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{k+1}}$ 隨 $k$ 增大而遞減。 $(4)$ 錯誤：$k\to\infty$ 時 $a_k,b_k$ 都趨近於 $\frac{1}{4}$，中間列恆為 $\frac{1}{2}$，極限分布為 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$，三種狀態的機率並不相等。 故選 $(1)(2)(3)$。