93指考數學甲多選第8題詳解

$P^k$ 有規律 $$P^k=\begin{pmatrix}a_k&\frac14&b_k\\\frac12&\frac12&\frac12\\c_k&\frac14&d_k\end{pmatrix},$$ 其中 $$a_k=d_k=\frac14+\frac{1}{2^{k+1}},$$ $$b_k=c_k=\frac14-\frac{1}{2^{k+1}}.$$ $(1)$：從狀態 $2$ 開始，經過 $k$ 次後到狀態 $1$ 與狀態 $3$ 的機率同為 $\frac14$，所以對。 $(2)$：從狀態 $1$ 開始，回到狀態 $1$ 的機率為 $a_k$，變成狀態 $3$ 的機率為 $c_k$，且 $a_k>c_k$，所以對。 $(3)$：$a_k=\frac14+\frac{1}{2^{k+1}}$ 隨 $k$ 增加而遞減，所以對。 $(4)$：狀態 $2$ 的機率不隨 $k$ 變大而改變為 $\frac13$，所以錯。 故選 $(1)(2)(3)$。