93指考數學甲選填第9題詳解

1. 先討論 $a=0$，此時 $2x^2+2y^2=1$ 為圓心 $(0,0)$、半徑 $\frac{1}{\sqrt2}$ 的圓，滿足 $x^2+y^2\leq 1$。 2. 當 $a\neq0$ 時，將坐標軸旋轉 $45^\circ$ 消去 $xy$ 項。旋轉後曲線方程式為 $$\frac{4+a}{2}x^2+\frac{4-a}{2}y^2=1,$$ 也就是 $$\frac{x^2}{\frac{2}{4+a}}+\frac{y^2}{\frac{2}{4-a}}=1.$$ 若圖形都落在 $x^2+y^2\leq1$ 內，則兩個半軸長平方都不超過 $1$： $$0<\frac{2}{4+a}\leq1, 0<\frac{2}{4-a}\leq1.$$ 解得 $-2\leq a\leq2$，故 $a$ 的最小可能值為 $-2$。