93指考數學甲補考單選第1題詳解

將 $y = \frac{1}{4x}$ 代入 $x^2 + xy + y^2 = 1$： $$x^2 + x \cdot \frac{1}{4x} + \frac{1}{16x^2} = 1$$ $$x^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16x^2} = 1$$ 兩邊同乘 $16x^2$： $$16x^4 + 4x^2 + 1 = 16x^2$$ $$16x^4 - 12x^2 + 1 = 0$$ 令 $u = x^2$，得 $16u^2 - 12u + 1 = 0$。 判別式 $\Delta = 144 - 64 = 80 > 0$。 $u = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{32} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{8}$，兩根皆正。 故 $x$ 有 $4$ 個實數解，兩圖形交於四點，選 $(4)$。