93指考數學乙補考選填第8題詳解

前三個平面中， $$E_3 = E_1 + 2E_2$$ 因為 $$5x+7y+z = (x+y+3z)+2(2x+3y-z),$$ 且 $$7 = 1+2\cdot 3.$$ 所以 $E_1,E_2,E_3$ 的共同部分是一條直線。 若四個平面恰交於一直線，則 $E_4$ 也必須包含這條直線，因此 $E_4$ 可由 $E_1,E_2$ 線性組合而成。設 $$E_4 = aE_1 + bE_2.$$ 比較 $x,y$ 係數與常數項： $$\begin{cases} a+2b=1,\\ a+3b=2. \end{cases}$$ 相減得 $b=1$，代回得 $a=-1$。 比較 $z$ 係數： $$-k = 3a-b = 3(-1)-1 = -4.$$ 因此 $$k=4.$$