95學測數學單選第3題詳解

依圖意，$\triangle OCD$、$\triangle OBC$、$\triangle OAB$ 皆為直角三角形，且 $\angle OCD = \angle OBC = \angle OAB = 90^\circ$。已知 $\overline{OD} = 8$、$\angle COD = 30^\circ$、$\angle BOC = 15^\circ$、$\angle AOB = 15^\circ$。 1. 在直角 $\triangle OCD$ 中，鄰邊 $\overline{OC} = \overline{OD} \cos 30^\circ = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$。 2. 在直角 $\triangle OBC$ 中，鄰邊 $\overline{OB} = \overline{OC} \cos 15^\circ = 4\sqrt{3} \cos 15^\circ$。 3. 在直角 $\triangle OAB$ 中，對邊 $\overline{AB} = \overline{OB} \sin 15^\circ = 4\sqrt{3} \cos 15^\circ \sin 15^\circ$。利用倍角公式 $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin 30^\circ$，可得： $$\overline{AB} = 2\sqrt{3} (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 2\sqrt{3} \sin 30^\circ = 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}$$ 故選 $(4)$。