96指考數學乙選填第10題詳解

從 $A$ 城出發走到 $B$ 城且每條道路恰經過一次，這是一個尤拉路徑問題。 1. 首尾分析： - 起點 $A$ 連接甲城的道路只有 $1$ 條，故第一步必須是 $A \to \text{甲}$。 - 終點 $B$ 連接丙城的道路只有 $1$ 條，故最後一步必須是 $\text{丙} \to B$。 2. 甲丙之間的路徑結構： 在甲城與丙城之間，總共由三條互不重疊的子路徑連接： - 子路徑 $P_1$：甲 $\to$ 乙 $\to$ 丙（含有 $2$ 條道路） - 子路徑 $P_2$：甲 $\to$ 丙（含有 $1$ 條道路） - 子路徑 $P_3$：甲 $\to$ 丁 $\to$ 戊 $\to$ 丙（含有 $3$ 條道路） 因為乙、丁、戊各城的度數均為 $2$，一旦進入必從另一端點出來，所以這三條子路徑必須各自以整體方式走完。 3. 走法排列： 出發後首先到達甲城，最終需從丙城離開前往 $B$。 要走完所有道路，必須在甲與丙城之間來回走完 $P_1, P_2, P_3$ 這三條路徑： - 第一次從甲走向丙：選擇其中一條路徑 - 第二次從丙走向甲：選擇剩下兩條中的一條 - 第三次從甲走向丙：走最後剩餘的一條 因此，總走法數即為這三條子路徑的排列數： $$\text{走法數} = 3! = 6 \text{ 種}$$ 故填入 $6$。