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97 學測數學 第 7 題
📅 97 年 📝 學測數學 第 7 題 題型:多選 課綱:99課綱
某高中共有 $20$ 個班級,每班各有 $40$ 位學生,其中男生 $25$ 人,女生 $15$ 人。若從全校 $800$ 人中以簡單隨機抽樣抽出 $80$ 人,試問下列哪些選項是正確的?
  1. 每班至少會有一人被抽中
  2. 抽出來的男生人數一定比女生人數多
  3. 已知小文是男生,小美是女生,則小文被抽中的機率大於小美被抽中的機率
  4. 若學生甲和學生乙在同一班,學生丙在另外一班,則甲、乙兩人同時被抽中的機率跟甲、丙兩人同時被抽中的機率一樣
  5. 學生 $A$ 和學生 $B$ 是兄弟,他們同時被抽中的機率小於 $\dfrac{1}{100}$
簡單隨機抽樣古典機率機率機率
解題手法公式代入〔AI 推測〕
答案

$(4)(5)$

詳解
(1) 錯誤:此為簡單隨機抽樣,可能集中抽中某些班級,因此有可能某班完全無人被抽中。 (2) 錯誤:男生人數雖然較多,但在隨機抽樣下,抽出來的女大於男仍有可能發生。 (3) 錯誤:簡單隨機抽樣下,每個人被抽中的機率皆相同,即 $\dfrac{80}{800} = \dfrac{1}{10}$,所以小文與小美被抽中的機率相同。 (4) 正確:因為是簡單隨機抽樣,全校任兩個人同時被抽中的機率皆相同,為 $\dfrac{C^{798}_{78} \times C^{2}_{2}}{C^{800}_{80}} = \dfrac{80 \times 79}{800 \times 799} = \dfrac{79}{7990}$。 (5) 正確:任兩個人同時被抽中的機率為 $\dfrac{79}{7990}$。因為 $\dfrac{79}{7990} < \dfrac{79.9}{7990} = \dfrac{1}{100}$,所以機率小於 $\dfrac{1}{100}$。 故選 $(4)(5)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。