97指考數學甲單選第1題詳解

1. 設 $n=x^2+y^2$，其中 $x,y$ 為整數。觀察 $k=0,1,2,3,4,5,6,7$ 時，$k^2$ 除以 $8$ 的餘數依序為 $0,1,4,1,0,1,4,1$；當 $k$ 每增加 $8$，這些餘數循環一次。因此整數平方除以 $8$ 的餘數只能是 $0,1,4$。 2. 兩個平方數相加後除以 $8$ 的餘數，可能組合為 $0+0=0$、$0+1=1$、$0+4=4$、$1+1=2$、$1+4=5$、$4+4=8$（餘 $0$）。所以可能的餘數為 $0,1,2,4,5$，不可能為 $6$。 故選 $(5)$。