98指考數學甲多選第4題詳解

平面通過 $(a,0,0)$、$(0,b,0)$、$(0,0,3)$、$(1,2,3)$。 情況一：$a,b$ 皆不為 $0$。平面截距式為 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{3}=1$。代入 $(1,2,3)$： $$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+1=1\;\implies\;\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=0\;\implies\;b=-2a$$ 因為 $a,b\neq 0$，所以 $a$ 與 $b$ 必異號（一正一負）。選項 $(1)(3)$ 錯誤，$(2)$ 正確。 情況二：$a,b$ 有包含 $0$。若 $a=0$，平面過原點，設 $Ax+By+Cz=0$。代入 $(0,0,3)$ 得 $C=0$，$Ax+By=0$。代入 $(1,2,3)$ 得 $A+2B=0$，$A=-2B$。平面為 $-2x+y=0$。代入 $(0,b,0)$ 得 $b=0$。因此 $a=0\iff b=0$，不可能只有一個等於 $0$。選項 $(4)$ 錯誤。 故選 $(2)$。