99學測數學單選第4題詳解

1. 直線 $AB$ 通過 $A(1,0)$ 與 $B(0,1)$，方程式為 $x+y-1=0$。底邊 $\overline{AB}=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$。 2. 因為三個三角形 $\triangle PAB$、$\triangle QAB$、$\triangle RAB$ 皆以 $\overline{AB}$ 為底邊，所以面積大小取決於各點到直線 $AB$ 的距離。點 $(x_0,y_0)$ 到 $x+y-1=0$ 的距離為 $\frac{|x_0+y_0-1|}{\sqrt{2}}$。 3. 逐一計算： \begin{aligned} d_P&=\frac{|\pi+1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\[4pt] d_Q&=\frac{|-\sqrt{3}+6-1|}{\sqrt{2}}=\frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\[4pt] d_R&=\frac{|2+\log_4 32-1|}{\sqrt{2}} \end{aligned} 因為 $\log_4 32=\frac{\log_2 32}{\log_2 4}=\frac{5}{2}=2.5$，所以 $d_R=\frac{|2+2.5-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3.5}{\sqrt{2}}$。 4. 比較數值：$\pi\approx 3.14$，$5-\sqrt{3}\approx 3.27$，$3.5$。因為 $3.14<3.27<3.5$，所以 $d_P<d_Q<d_R$，即 $p<q<r$。 故選 $(1)$。