100指考數學甲單選第2題詳解

每個方格從 $\{1, 2, 3, 4\}$ 中隨機填入一數，可重複使用，所以總填法有 $4^4 = 256$ 種。 因為 $(A, B)$ 與 $(C, D)$ 的填法彼此獨立，所以可分別計算有利情況數後相乘。 對 $(A, B)$：總共有 $4 \times 4 = 16$ 種填法。滿足 $A > B$ 的情況： - 當 $A=4$ 時，$B \in \{1, 2, 3\}$：$3$ 種； - 當 $A=3$ 時，$B \in \{1, 2\}$：$2$ 種； - 當 $A=2$ 時，$B \in \{1\}$：$1$ 種。 共 $3 + 2 + 1 = 6$ 種。同理，$(C, D)$ 滿足 $C > D$ 也有 $6$ 種。 因為兩組獨立，所以有利情況數為 $6 \times 6 = 36$，機率為 $$\frac{36}{256} = \frac{9}{64}.$$ 故選 $(2)$。