101 指考數學乙第 8 題

Question

設 $a,b$ 均為正整數，而方程式 $x^2-ax+15=0$ 與 $x^2-bx+3b-1=0$ 有一共同根，且此共同根為質數，則 $b=$____。

Accepted Answer

答案：$12$
設共同質數根為 $p$。

由第一式 $p^2-ap+15=0$，$p\mid 15$，且 $p$ 為質數，故 $p\in\{3,5\}$。

**若 $p=3$：** $9-3a+15=0\Rightarrow a=8$。
代入第二式：$9-3b+3b-1=8
eq 0$，矛盾。

**若 $p=5$：** $25-5a+15=0\Rightarrow a=8$。
代入第二式：$25-5b+3b-1=0\Rightarrow 24=2b\Rightarrow b=12$。

故 $b=12$。