102指考數學甲選填第10題詳解

因為直線 $CD$ 垂直平面 $ABC$，所以 $\overline{CD} \perp \overline{AC}$，$\triangle ACD$ 為直角三角形（$\angle ACD = 90^\circ$）。 由畢氏定理：$\overline{AD}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{CD}^2$。 2. 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = \overline{BC} = 10$，$\angle ABC$ 為銳角，且 $\sin\angle ABC = \frac{4}{5}$。 因此 $\cos\angle ABC = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$。 3. 由餘弦定理求 $\overline{AC}$： \begin{align*} \overline{AC}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \cos\angle ABC \\ &= 100 + 100 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 200 - 120 = 80. \end{align*} 4. $\overline{CD} = 10$，所以 $$\overline{AD} = \sqrt{\overline{AC}^2 + \overline{CD}^2} = \sqrt{80 + 100} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$$ 故填 $6\sqrt{5}$。