103指考數學乙多選第3題詳解

$f(x)$ 為三次實係數多項式，至多有 $3$ 個實根。 已知 $f(-3) > 0$、$f(-2) < 0$、$f(-1) > 0$、$f$(1)$ > 0$、$f$(2)$ = 0$。 $(1)$ 由 $f$(1)$ > 0$ 且 $f$(2)$ = 0$，無法保證 $x=1$ 與 $x=2$ 之間有根，錯誤。 $(2)$ 由 $f(-3) > 0$ 且 $f(-2) < 0$，根據介值定理，在 $(-3,-2)$ 內至少有一根。 由 $f(-2) < 0$ 且 $f(-1) > 0$，在 $(-2,-1)$ 內至少有一根。 又 $f$(2)$ = 0$ 為第三根。三次多項式至多三個根，所以 $f(x)=0$ 恰有三個實根，正確。 $(3)$ 同 $(2)$ 分析，$f(x)=0$ 在 $(-3,-2)$ 內有一根，正確。 $(4)$ 由 $f$(1)$ > 0$ 且 $f$(2)$ = 0$，無法確定有 $x=1$ 和 $x=2$ 之間的根，錯誤。 $(5)$ 最高次項係數由函數的大域行為決定。當 $x \to \infty$，三次項主導。因為 $f$(2)$=0$ 且 $f$(1)$ > 0$，代表函數在 $x=2$ 附近由正轉零，三次項係數為正，正確。 因此正確選項為 $(2)$(3)$(5)$。