104學測數學多選第10題詳解

因為設全班為 $U$，$\left\|U\right\| = 45$。有手機集合為 $M$，$\left\|M\right\| = 35$。有平板集合為 $P$，$\left\|P\right\| = 24$。 依題意各區域人數： - $A = \left\|M \cap P\right\|$ - $B = \left\|M \setminus P\right\| = 35 - A$ - $C = \left\|P \setminus M\right\| = 24 - A$ - $D = \left\|U \setminus (M \cup P)\right\| = 45 - (35 + 24 - A) = A - 14$ 由於人數必為非負整數，所以因此： - $C \ge 0 \implies 24 - A \ge 0 \implies A \le 24$ - $D \ge 0 \implies A - 14 \ge 0 \implies A \ge 14$ 故 $A$ 的範圍為區間 $[14, 24]$。 進而可求出其他變數的範圍： - $A \in [14, 24]$ - $B \in [11, 21]$ - $C \in [0, 10]$ - $D \in [0, 10]$ 逐一檢驗選項： - $(1)$ 錯：$A > B \iff A > 35 - A \iff A \ge 18$。當 $A = 14$ 時不成立。 - $(2)$ 對：$A > C \iff A > 24 - A \iff A > 12$。因 $A \ge 14$，此不等式恆成立。 - $(3)$ 對：$B > C \iff 35 - A > 24 - A \iff 35 > 24$，恆成立。 - $(4)$ 對：$B > D \iff 35 - A > A - 14 \iff 2A < 49 \iff A \le 24$。因 $A \le 24$，此不等式恆成立。 - $(5)$ 錯：$C > D \iff 24 - A > A - 14 \iff 2A < 38 \iff A \le 18$。當 $A = 20$ 時不成立。 因此恆成立的選項為 $(2)(3)(4)$。