104 學測數學第 12 題

Question

不透明袋中有 $3$ 白 $3$ 紅共 $6$ 個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為 ____ 。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{1}{2}$
在「甲、乙取出不同色球」的條件下：
1. 甲、乙必取出一紅球一白球，此時袋中剩下 $2$ 紅球 $2$ 白球，共 $4$ 球。
2. 丙、丁、戊依序取球不放回。
3. 依據抽籤或取球的公平性（對稱性）原理，在剩下 $2$ 紅 $2$ 白的球中，丙、丁、戊每個人取得紅球的機率都是相等的。
4. 因此，戊取得紅球的機率，就相當於直接在剩下 $2$ 紅 $2$ 白球的袋中任取一球是紅球的機率：
   $$	ext{機率} = \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2}$$。
故答案為 $\dfrac{1}{2}$。