104學測數學選填第18題詳解

設正方形底面邊長為 $4$，頂點依序為 $A$、$B$、$C$、$D$。 由展開圖，摺合後角錐頂點 $P$ 滿足 $\overline{PA} = 3$、$\overline{PB} = 5$、$\overline{PD} = 3$、$\overline{PC} = 5$。 令底面在 $z = 0$ 平面上，$A = (0,4,0)$、$B = (4,4,0)$、$C = (4,0,0)$、$D = (0,0,0)$。 設 $P = (x, y, h)$，其中 $h$ 為角錐高。 因為 $\overline{PA} = \overline{PD}$，所以 $(x-0)^2 + (y-4)^2 + h^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + h^2$，得 $(y-4)^2 = y^2$，即 $y = 2$。 因為 $\overline{PB}^2 - \overline{PA}^2 = 25 - 9 = 16$，所以： $(x-4)^2 + (2-4)^2 + h^2 - 區間 $[x^2 + (2-4)^2 + h^2]$ = 16$ $(x-4)^2 - x^2 = 16$，得 $-8x + 16 = 16$，即 $x = 0$。 由 $\overline{PA}^2 = 9$：$0^2 + (2-4)^2 + h^2 = 9$，即 $4 + h^2 = 9$，得 $h = \sqrt{5}$。 因此角錐體積 $= \frac{1}{3} \times$ 底面積 $\times$ 高 $= \frac{1}{3} \times 16 \times \sqrt{5} = \frac{16\sqrt{5}}{3}$。