104指考數學甲非選第13題詳解

$(1)$ 由遞迴式 $a_n - a_{n-1} = \begin{cases} (\frac{1}{5})^n, & n \text{ 為偶數} \\ (\frac{1}{5})^n - (\frac{1}{3})^n, & n \text{ 為奇數} \end{cases}$ 且 $a_0 = 0$，累加至 $a_6$： $a_6 = \displaystyle\sum_{n=1}^{6} (a_n - a_{n-1})$ $$\begin{aligned} &= \sum_{k=1}^{6} \left(\frac{1}{5}\right)^k - \sum_{j=1}^{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{2j-1} \; \text{（奇數項才扣 $\frac{1}{3^n}$）} \\[4pt] &= \displaystyle\sum_{k=1}^{6} \left(\frac{1}{5}\right)^k - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^5}\right) \end{aligned}$$ $(2)$ 偶數項 $a_{2n}$ 的極限： $a_{2n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{1}{5}\right)^k - \sum_{j=1}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^{2j-1}$ 當 $n \to \infty$： 第一個級數 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^k = \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} = \frac{1}{4}$ 第二個級數 $\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{2j-1} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{8}$ 因此 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{2n} = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$。 $(3)$ 計算 $a_{2n+2} - a_{2n}$： $$\begin{aligned} &= a_{2n+2} - a_{2n} = \left(\frac{1}{5}\right)^{2n+1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{2n+2} \\[4pt] &= \frac{1}{5^{2n+1}} - \frac{1}{3^{2n+1}} + \frac{1}{5^{2n+2}} = \frac{6}{5^{2n+2}} - \frac{1}{3^{2n+1}} \end{aligned}$$ 因為 $5^{2n+2} > 3^{2n+1}$ 對足夠大的 $n$ 成立，所以此差為負。 因此數列 $\{a_{2n}\}$ 為嚴格遞減。 $a_0 = 0$，且數列嚴格遞減，極限為 $-\frac{1}{8}$，所以對所有正整數 $n$，$a_{2n} > -\frac{1}{8}$。