105指考數學甲非選第13題詳解

（1）因為在 $0\le x\le 3$ 中，$f(x)$ 的最大值 $12$ 發生在 $x=0$ 與 $x=2$ 兩處，所以 $f(0)=12$、$f(2)=12$，且對所有 $x\in[0,3]$ 均有 $f(x)\le 12$。 因為 $x=2$ 是區間內部的最大點，且 $f(x)$ 是多項式函數（可微），所以必有 $f'(2)=0$，即 $x=2$ 為臨界點。 若三次項係數 $a>0$，則當 $x>2$ 且 $x$ 夠大時 $f(x)$ 會遞增超過 $12$，但已知最大值為 $12$，所以 $a$ 不能為正。因此 $a<0$。 圖形特徵：$f(0)=12$、$f(2)=12$ 為兩處最大值點，在此兩點之間圖形先下降再上升回到 $12$（$x=2$ 處為局部極大值且與 $y=12$ 相切），在 $x>2$ 處圖形遞減低於 $12$。 （2）由（1）知 $f(0)=12$ 且 $f(2)=12$，又 $f'(2)=0$，所以 $x=2$ 是 $f(x)-12=0$ 的重根。因此可設： $$f(x)-12 = a(x-0)(x-2)^2 = ax(x-2)^2$$ 因為 $x=2$ 為重根且 $x=0$ 為單根，所以方程式 $f(x)-12=0$ 的實數解為 $x=0$ 及 $x=2$（重根）。 因為對任意 $s\le r$ 有 $\int_s^r f(t)dt = G(r)-G(s)$ 且 $G(0)=0$，所以由微積分基本定理得 $G'(x)=f(x)$。 因為 $y=G(x)$ 在 $x=1$ 處有相對極值，所以 $G'(1)=f(1)=0$： $$f(1)-12 = a\cdot 1\cdot(1-2)^2 = a = -12 \implies a = -12$$ （3）因為 $a=-12$，所以 $f(x)=-12x(x-2)^2+12 = -12x(x^2-4x+4)+12 = -12x^3+48x^2-48x+12$。 由 $G(0)=0$ 得： $$G(x) = \int_0^x f(t)dt = \int_0^x (-12t^3+48t^2-48t+12)dt = -3x^4+16x^3-24x^2+12x$$ 求 $G(x)$ 在 $0\le x\le 2$ 的最小值。先找臨界點：$G'(x)=f(x)=0$： $$-12x^3+48x^2-48x+12=0 \implies x^3-4x^2+4x-1=0$$ 因為 $x=1$ 為一根（$1-4+4-1=0$），所以因式分解得 $(x-1)(x^2-3x+1)=0$。 另外兩根為 $x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，其中 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.38$ 落在區間 $[0,2]$ 內，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.62$ 不在區間內。 分析 $f(x)$ 在區間 $[0,2]$ 的正負號： - 當 $0\le x<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ 時，$f(x)>0$，$G(x)$ 遞增。 - 當 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<x<1$ 時，$f(x)<0$，$G(x)$ 遞減。 - 當 $1<x\le 2$ 時，$f(x)>0$，$G(x)$ 遞增。 比較端點值與局部極小值： $$G(0)=0,\; G\!\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)>0,\; G(1)=-3+16-24+12=1,\; G(2)=-48+128-96+24=8$$ 所以最小值為 $0$，發生於 $x=0$ 處。 故 $G(x)$ 在 $0\le x\le 2$ 的最小值為 $0$。