107學測數學單選第1題詳解

1. 設 $\overline{AB}$ 長為 $d$。因為 $\Delta PAB$ 為正三角形，所以 $\overline{PA} = \overline{PB} = d$。 2. 因為 $\overline{PA} = \overline{PB}$，所以點 $P$ 落在 $\overline{AB}$ 的垂直平分面上。 3. 設 $M$ 為 $\overline{AB}$ 中點，則 $\overline{MA} = \frac{d}{2}$。因為 $\overline{PA} = d$ 且 $\overline{PM} \perp \overline{AB}$，所以在 $\triangle PMA$ 中由畢氏定理得 $\overline{PM} = \sqrt{d^2 - (\frac{d}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}d$。 4. 因此，所有滿足條件的點 $P$ 形成在 $\overline{AB}$ 的垂直平分面上、以 $M$ 為圓心、半徑為 $\frac{\sqrt{3}}{2}d$ 的一個圓。 故選 $(4)$。