108指考數學乙選填第8題詳解

三位數共有 $900$ 個（自 $100$ 至 $999$）。 欲求 $a+b+c=9$ 且 $a \in \{1, \dots, 9\}$，$b, c \in \{0, \dots, 9\}$ 的解數。 令 $a' = a - 1$，其中 $a' \ge 0$，則方程式變為： $(a' + 1) + b + c = 9 \implies a' + b + c = 8$ 此方程的非負整數解個數為： $H^3_8 = C^{3+8-1}_8 = C^{10}_8 = C^{10}_2 = 45$ （註：因 $a'+b+c=8$，故 $a', b, c$ 均不會超過 $9$，皆為有效三位數分量） 機率為 $\dfrac{45}{900} = \dfrac{1}{20}$。