108指考數學乙多選第7題詳解

選項 $(1)$：因為題目僅給各區間的總機率，未給區間內各整數時間的分配方式，所以無法判定 $P(T < 35)$ 之值，更無法確認為 $0.5$。本選項錯誤。 選項 $(2)$：因為五天皆騎車的總時間最多為 $5 \times 40 = 200$ 分鐘，而四天騎車加一天步行的總時間最少為 $4 \times 30 + 60 = 180$ 分鐘，兩者範圍有重疊，所以五天騎車不一定少於四天騎車加一天步行。本選項錯誤。 選項 $(3)$：設五天中步行 $n$ 天，則騎車 $5 - n$ 天。因為步行每天 $60$ 分鐘，騎車每天介於 $30$ 與 $40$ 分鐘之間，所以五天總時間 $S$ 滿足 $60n + 30(5-n) \le S \le 60n + 40(5-n)$，即 $150 + 30n \le S \le 200 + 20n$。若 $n \ge 4$，則 $S \ge 150 + 30 \times 4 = 270 > 250$；若 $n \le 2$，則 $S \le 200 + 20 \times 2 = 240 < 250$。因為總時間為 $250$，所以 $n$ 必為 $3$，即三天步行、兩天騎車。本選項正確。 選項 $(4)$：兩天通勤，每天以公正銅板決定方式。可能情形有四種且機率均為 $\frac{1}{4}$：步行加步行（總時間 $120 \ge 90$）、步行加騎車（總時間 $\ge 60 + 30 = 90$）、騎車加步行（總時間 $\ge 90$）、騎車加騎車（總時間 $\le 80 < 90$）。因為前三種情形總時間皆至少 $90$ 分鐘，所以機率為 $\frac{3}{4} = 0.75$。本選項正確。 選項 $(5)$：因為兩天皆騎車的情況下，欲使總時間 $\ge 76$，至少需 $T_1 + T_2 \ge 76$。例如 $T_1$ 落在區間 $[36, 38)$（機率 $0.2$）且 $T_2$ 落在區間 $[38, 40]$（機率 $0.1$）的組合（含兩天互換），其機率已有 $2 \times 0.2 \times 0.1 = 0.04 > 0.01$，所以總機率不可能僅為 $0.01$。本選項錯誤。 故選 $(3)(4)$。