109學測數學單選第4題詳解

1. 先求 $A^{-1}$。因為 $A=\begin{bmatrix}1 & 1\\3 & 4\end{bmatrix}$，行列式值 $\det A=1\times 4-1\times 3=1$，所以 $A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}4 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix}$。 2. 計算 $B=I+A+A^{-1}$： $$\begin{aligned} B&=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 1\\3 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1+1+4 & 0+1+(-1)\\0+3+(-3) & 1+4+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 0\\0 & 6\end{bmatrix}=6I \end{aligned}$$ 3. 因為 $B=6I$，所以 $BA=6IA=6A=\begin{bmatrix}6 & 6\\18 & 24\end{bmatrix}$。 故選 $(5)$。