115學測數學B單選第3題詳解

已知 $P=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，且 $AP=B$。 因為 $A=BP^{-1}$，而 $P$ 的行列式為 $-2$，所以 $P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。 因此 $$A=BP^{-1}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ 所求為 $a_{11}+a_{12}+a_{21}+a_{22}=\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。 故填 $1$。