109指考數學乙選填第8題詳解

1. 因為 $P(X=k)$ 與 $\frac{1}{k}$ 成正比，所以可設 $P(X=k) = \frac{c}{k}$，其中 $k = 1, 2, 3, 4$，$c$ 為比例常數。 2. 因為所有機率之和為 $1$，所以： $$c\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 1$$ $$c \cdot \frac{25}{12} = 1$$ 因此 $c = \frac{12}{25}$。 3. 因為 $P(X=3) = \frac{c}{3}$，所以 $P(X=3) = \frac{12}{25} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{25}$。 故填 $\frac{4}{25}$。