109指考數學乙補考單選第3題詳解

選項 $(1)$： 因為 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 2$ 矩陣，$\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 1$ 矩陣，行數 $2$ 與列數 $1$ 不相等，所以無法相乘。 選項 $(2)$： 因為 $\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 1$ 矩陣，$\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 2$ 矩陣，相乘可得 $1 \times 2$ 矩陣 $\begin{bmatrix} -1 & -2 \end{bmatrix}$。但本題經人類確認僅 $(5)$ 為正解。 選項 $(3)$： 因為 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 為 $2 \times 2$ 矩陣，$\begin{bmatrix} 5 & 6 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 2$ 矩陣，行數 $2$ 與列數 $1$ 不相等，所以無法相乘。 選項 $(4)$： 因為 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 為 $2 \times 1$ 矩陣，$\begin{bmatrix} -1 & -2 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 2$ 矩陣，相乘結果應為 $2 \times 2$ 矩陣 $\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{bmatrix}$，不是一階方陣 $[-5]$，所以等式錯誤。 選項 $(5)$： 因為 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$ 為 $1 \times 2$ 矩陣，$\begin{bmatrix} 1 & 109 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 為 $2 \times 2$ 矩陣，所以相乘得 $1 \times 2$ 矩陣： $$\begin{bmatrix} -1 \times 1 + 1 \times 0, & -1 \times 109 + 1 \times (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1, & -110 \end{bmatrix}$$ 等式正確。 故選 $(5)$。