109指考數學乙補考選填第9題詳解

第一天汙染區域（最內圓）的半徑為 $2$ 公里，其面積為： $$A_1 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$$ 依題意，後續每天新增的汙染區域面積（即圓環面積）均為前一天的 $\frac{5}{7}$ 倍。 因此，無限延伸後之全部汙染區域總面積 $A_{\text{總}}$ 為一首項 $A_1 = 4\pi$，公比 $r = \frac{5}{7}$ 的無窮等比級數之和： $$A_{\text{總}} = \frac{A_1}{1 - r} = \frac{4\pi}{1 - \frac{5}{7}} = \frac{4\pi}{\frac{2}{7}} = 14\pi$$ 設最終汙染區域趨近於半徑為 $R$ 公里的圓，則： $$\pi R^2 = 14\pi \Rightarrow R^2 = 14 \Rightarrow R = \sqrt{14}$$