109指考數學乙補考選填第10題詳解

首先求解不等式 $|4-3x| < 11$： $$-11 < 4-3x < 11 \Rightarrow -15 < -3x < 7 \Rightarrow -\frac{7}{3} < x < 5$$ 滿足限制之整數 $x$ 有：$-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$，共 $7$ 個。 自此 $7$ 個數中選取三相異整數 $a < b < c$，其中位數為 $b$，平均數為 $\frac{a+b+c}{3}$。 依題意要求中位數大於或等於平均數： $$b \ge \frac{a+b+c}{3} \Rightarrow 2b \ge a+c \Rightarrow b - a \ge c - b$$ 我們依中位數 $b$ 的可能值分類討論： • 若 $b = 4$：無大於 $4$ 的數可作為 $c$，共 $0$ 種。 • 若 $b = 3$：$c$ 只能選 $4$ ($c-b=1$)；則 $3-a \ge 1 \Rightarrow a \le 2$，可選 $-2, -1, 0, 1, 2$，共 $5$ 種。 • 若 $b = 2$： 當 $c = 4$ ($c-b=2$)：$a \le 0$，可選 $-2, -1, 0$，共 $3$ 種。 當 $c = 3$ ($c-b=1$)：$a \le 1$，可選 $-2, -1, 0, 1$，共 $4$ 種。 共計 $3 + 4 = 7$ 種。 • 若 $b = 1$： 當 $c = 4$ ($c-b=3$)：$a \le -2$，可選 $-2$，共 $1$ 種。 當 $c = 3$ ($c-b=2$)：$a \le -1$，可選 $-2, -1$，共 $2$ 種。 當 $c = 2$ ($c-b=1$)：$a \le 0$，可選 $-2, -1, 0$，共 $3$ 種。 共計 $1 + 2 + 3 = 6$ 種。 • 若 $b = 0$： 當 $c = 2$ ($c-b=2$)：$a \le -2$，可選 $-2$，共 $1$ 種。 當 $c = 1$ ($c-b=1$)：$a \le -1$，可選 $-2, -1$，共 $2$ 種。 共計 $1 + 2 = 3$ 種。 • 若 $b = -1$： 當 $c = 0$ ($c-b=1$)：$a \le -2$，可選 $-2$，共 $1$ 種。 • 若 $b = -2$：無更小數可選為 $a$。 總選法數為：$5 + 7 + 6 + 3 + 1 = 22$ 種。